Derivación Numérica
Las fórmulas de derivación numérica aparecen en el desarrollo de algoritmos para la solución de problemas de contorno en ecuaciones diferenciales ordinarias (y en ecuaciones en derivadas parciales). En general, podemos obtener aproximaciones numéricas de la derivada en un punto derivando alguna función interpolante, por ejemplo un polinomio de Lagrange, algún trazador cúbico, etc. Sin embargo, en la práctica pequeños errores en los datos pueden producir malos resultados en las derivadas. Aquí vamos a experimentar con fórmulas que se obtienen derivando el polinomio interpolante de Lagrange.
Fórmulas de tres y cinco puntos
Supongamos que













En lo que sigue vamos a suponer que los




Fórmulas de tres puntos
Supongamos que solo tenemos tres datos




![$\displaystyle{ f^\prime(x_0) = \frac{1}{h} \left[ -\frac{3}{2}f(x_0)+2f(x_1)-\frac{1}{2}f(x_2)\right]
+\frac{h^2}{3}f^{(3)}(\epsilon(x_0)) }$](http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/DerivacionNumerica/img21.gif)
![$\displaystyle{f^\prime(x_1) = \frac{1}{h} \left[
-\frac{1}{2}f(x_0)+\frac{1}{2}f(x_2) \right]
+\frac{h^2}{6}f^{(3)}(\epsilon(x_1))}$](http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/DerivacionNumerica/img22.gif)
![$\displaystyle{ f^\prime(x_2) = \frac{1}{h} \left[ \frac{1}{2}f(x_0)-2f(x_1)+\frac{3}{2}f(x_2)\right]
+\frac{h^2}{3}f^{(3)}(\epsilon(x_2)) }$](http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/DerivacionNumerica/img23.gif)
Fórmulas de cinco puntos
De manera análoga, si tenemos cinco datos igualmente espaciados,


![$\displaystyle{ f^\prime(x_2) = \frac{1}{12h} \left[f(x_0)-8f(x_1)+8f(x_3)-f(x_4)\right]
+\frac{h^4}{30}f^{(5)}(\epsilon) }$](http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/DerivacionNumerica/img25.gif)
Fórmula para la segunda derivada
Con las mismas hipótesis, se puede deducir una fórmula de tres puntos para la segunda derivada
![$\displaystyle{ f^{\prime \prime }(x_1) = \frac{1}{h^2} \left[f(x_0)-8f(x_1)-2f(x_1)+f(x_2)\right]
-\frac{h^2}{12}f^{(4)}(\epsilon) }$](http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/DerivacionNumerica/img26.gif)
EJEMPLO. Consideremos la siguiente tabla de datos
![]() | ![]() |
0.00 | 1.00 |
0.01 | 1.010050167 |
0.02 | 1.02020134 |
0.03 | 1.030454534 |
0.04 | 1.040810774 |
0.05 | 1.051271096 |
0.06 | 1.061836547 |
0.07 | 1.072508181 |
0.08 | 1.083287068 |
0.09 | 1.094174284 |


SOLUCIÓN. Para estimar



- Estimación de
con la fórmula de cinco puntos. Seleccionamos cinco puntos de tal manera que,
0.00 1 0.01 1.010050167 0.02 1.02020134 0.03
1.030454534 0.04
1.040810774 0.05
1.051271096 0.06
1.061836547 0.07
1.072508181 0.08 1.083287068 0.09 1.094174284 como se esperaba ya que
- Estimación de
con la fórmula de tres puntos para estimar
. Seleccionamos tres puntos de tal manera que,
0.00 1.00 0.01 1.010050167 0.02 1.02020134 0.03 1.030454534 0.04 1.040810774 0.05 1.051271096 0.06 1.061836547 0.07
1.072508181 0.08
1.083287068 0.09
1.094174284 como se esperaba. Observe que la precisión no es tan buena como la obtenida con la fórmula de cinco puntos.
EJERCICIOS
1. Considere la tabla
![]() | ![]() |
1.1 | 1.042236692INTEGRACION NUMERICA |
1.2 | 1.082222055 |
1.3 | 1.120140413 |
1.4 | 1.156156396 |
1.5 | 1.190417757 |
1.6 | 1.223057566 |
1.7 | 1.254195979 |
1.8 | 1.283941742 |



ii.) En Excel, estimar



No hay comentarios:
Publicar un comentario